微积分基本公式_∫_a^b f(x)dx=F(b)-F(a)

公式展示

∫ₐᵇ f(x)dx = F(b)-F(a)，其中F'(x)=f(x)

F是f的一个原函数

微积分基本公式(牛顿-莱布尼茨公式)揭示了微分与积分的互逆关系，是定积分计算的基础。

例1：基本计算

∫₀¹ x²dx = [x³/3]₀¹ = 1/3

例2：三角函数

∫₀^π sinx dx = [-cosx]₀^π = -cosπ+cos0 = 2

例3：变上限求导

d/dx ∫₀^{x²} e^t dt = e^{x²}·2x

F必须是原函数

F'(x)=f(x)，不要求错原函数。

f需连续

f在[a,b]上连续时公式成立(可积条件更弱)。

变上限求导

上限是函数时要用链式法则乘以上限的导数。

微积分基本公式为什么重要？

它将定积分和不定积分联系起来，使定积分可以通过求原函数计算。

变上限积分怎么求导？

d/dx ∫ₐˣ f(t)dt=f(x)。上限是函数时乘以上限导数。

牛顿和莱布尼茨谁先发现？

两人各自独立发现，公式以两人命名。